Question

【題目】定義在上的函數(shù)若滿(mǎn)足： ，且，則稱(chēng)函數(shù)為“指向的完美對(duì)稱(chēng)函數(shù)”.已知是“1指向2的完美對(duì)稱(chēng)函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)， .若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】由是“1指向2的完美對(duì)稱(chēng)函數(shù)”，所以,用1+x代替上式中的x值， ，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以函數(shù)的周期為4，其中，故， ，

，故當(dāng)時(shí)， ，所以，即時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， .由得對(duì)稱(chēng)中心為，周期為4，可得的對(duì)稱(chēng)中心為，即與均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，結(jié)合的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)及關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，可畫(huà)出在區(qū)間上的圖象，如圖所示：

因?yàn)?/span>，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，故若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則只需與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，則,故切線(xiàn)方程為：

.因?yàn)辄c(diǎn)在切線(xiàn)上，所以，解得或（舍去），此時(shí),又當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，k=1.故由圖，可知實(shí)數(shù)k的取值范圍為

故選：B