Question

【題目】已知橢圓：左、右焦點(diǎn)分別為，，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且滿(mǎn)足，當(dāng)變化時(shí)，給出下列四個(gè)命題：①點(diǎn)的軌跡關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②存在使得橢圓上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)僅有兩個(gè)；③的最小值為2；④最大值為，其中正確命題的序號(hào)是______.

Answer 1

【答案】①③

【解析】

利用橢圓的定義先求解的軌跡，即可判定①正確，②不正確；結(jié)合軌跡方程進(jìn)行驗(yàn)證，可得③正確，④不正確.

由題意，點(diǎn)在橢圓：上，

所以，

所以點(diǎn)也在以為焦點(diǎn)的橢圓上，

所以點(diǎn)為橢圓：與橢圓的交點(diǎn)，共4個(gè)，故①正確，②錯(cuò)誤；

點(diǎn)靠近坐標(biāo)軸時(shí)（或），越大，點(diǎn)遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸時(shí)，越小，易得時(shí)，取得最小值，此時(shí)：， ，兩方程相加得，即的最小值為2，③正確；橢圓上的點(diǎn)到中心的距離小于等于，由于點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，所以，④錯(cuò)誤.

故答案為：①③.