Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,焦距為 2，一條準(zhǔn)線方程為，為橢圓上一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；

(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求過三點(diǎn)的圓的方程；

(3)若，且，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】分析：（1）根據(jù)橢圓的焦距為2，一條準(zhǔn)線方程為，求出a，b，即可求橢圓的方程；

（2）直線的方程為x-y+1=0，代入橢圓方程，求出Q的坐標(biāo)，利用圓的一般方程，建立方程組，即可求過P，Q，三點(diǎn)的圓的方程；

（3）由，可得P，Q坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用向量數(shù)量積公式，結(jié)合，利用基本不等式，即可求出的最大值.

解析：解(1)由題意得解得，

所以.

所以橢圓的方程為.

(2)因?yàn)?/span>,，所以的方程為.

由 解得 或

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

設(shè)過三點(diǎn)的圓為，

則 解得.

所以圓的方程為.

(3)設(shè)，，則，.

因?yàn)?/span>，所以即

所以，，解得.

所以

因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).

所以,即的最大值為.