Question

已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，設(shè)，
（ⅰ）求證g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；
（ⅱ）求證對(duì)任意x，x，xx，有.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）（�。┰斠娊馕�；（ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的兩個(gè)潛在極值點(diǎn)與，由于，可以確定也在函數(shù)的定義域中，然后對(duì)與的大小關(guān)系分三種情況進(jìn)行討論，并求出相應(yīng)條件下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）（ⅰ）求出的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)或法說明在上恒成立，從而證明函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；（ⅱ）利用（�。┲械慕Y(jié)論是單調(diào)遞增函數(shù)，并假設(shè)，由經(jīng)過變形得到.
試題解析：(1)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/63/4/33kux3.png" style="vertical-align:middle;" />，
  2分
（i）若即,則故在單調(diào)增加。 3分
(ii)若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。 5分
(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加. 6分
(2) （ⅰ）
則  7分
由于1<a<5,故，即g(x)在(0, +∞)單調(diào)增加， 8分
（ⅱ）有（�。┲�當(dāng)時(shí)有，即，
故，當(dāng)時(shí)，有 10分
考點(diǎn)：分類討論、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)