Question

【題目】如果無(wú)窮數(shù)列{an}的所有項(xiàng)恰好構(gòu)成全體正整數(shù)的一個(gè)排列，則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)P．

（Ⅰ）若an（k∈N*），判斷數(shù)列{an}是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由，

（Ⅱ）若數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，求證：{an}中一定存在三項(xiàng)ai，aj，ak（i＜j＜k）構(gòu)成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列；

（Ⅲ）若數(shù)列{an}具有性質(zhì)P，則{an}中是否一定存在四項(xiàng)ai，aj，ak，al，（i＜j＜k＜l）構(gòu)成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）數(shù)列{an}具有性質(zhì)P．見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）不一定存在，見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）分n為奇數(shù)，n為偶數(shù)討論，研究an包含的數(shù)的情況，即得解;

（Ⅱ）考慮，令，從開(kāi)始尋找第一個(gè)大于M的項(xiàng)，記為：,分為奇數(shù)，偶數(shù)討論，分別構(gòu)造，為公差為奇數(shù)的等差數(shù)列，即得證.

（Ⅲ）構(gòu)造反例：為1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,利用反證法，即得證,

（Ⅰ）解：∵an（k∈N*），∴數(shù)列{an}具有性質(zhì)P．

理由如下：

當(dāng)n為奇數(shù)，n∈N*時(shí)，an＝n+1包含所有的正偶數(shù)，

當(dāng)n為偶數(shù)，n∈N*時(shí)，an＝n﹣1包含所有的正奇數(shù)，

∴無(wú)窮數(shù)列{an}的所有項(xiàng)恰好構(gòu)成全體正整數(shù)的一個(gè)排列，

∴數(shù)列{an}具有性質(zhì)P．

（Ⅱ）證明：不妨設(shè)

考慮，令，

從開(kāi)始尋找第一個(gè)大于M的項(xiàng)，記為：，則中含有1，2，且為前j項(xiàng)中的最大項(xiàng)()

(i)若為奇數(shù)，，所以在之后，記為，則，為公差為奇數(shù)的等差數(shù)列;

(ii) 若為偶數(shù)，令，則，為公差為奇數(shù)的等差數(shù)列.

故結(jié)論成立.

（Ⅲ）不一定存在

例如為1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,

即每三項(xiàng)構(gòu)成一組，第k組的通項(xiàng)公式為：2k-1,4k-2,4k，

假設(shè)存在4項(xiàng)構(gòu)成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列，則存在三項(xiàng)（偶數(shù)，奇數(shù)，偶數(shù)）成等差，

由于中，任意一項(xiàng)奇數(shù)后面的偶數(shù)都大于等于2，

因此不可能存在三項(xiàng)（偶數(shù)，奇數(shù)，偶數(shù)）成等差.

故假設(shè)不成立.