Question

【題目】如圖，在五面體中，四邊形為矩形，為等邊三角形，且平面平面.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

取中點(diǎn)，則,從而平面,進(jìn)而可得平面,由面面垂直的判定即可得證;

取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建系.利用空間向量法,求出直線的方向向量和平面的法向量,求出向量和夾角的余弦值即可.

證明：取中點(diǎn)，因?yàn)?/span>為等邊三角形,所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面，則，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面.

取中點(diǎn)，由知平面平面，

所以平面，

如圖.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建系.設(shè)長度為，

則點(diǎn)坐標(biāo)為：，

因?yàn)?/span>，所以平面，

又平面平面，平面

由線面平行的性質(zhì)知,，

由共線向量定理知,存在唯一實(shí)數(shù)使，

因?yàn)?/span>,所以點(diǎn).

則，

由于，所以，

解得.于是，

設(shè)平面的法向量為,

因?yàn)?/span>,

所以,解得，

從而平面的法向量為

又直線的方向向量為，

記直線與平面所成角為，

所以

所以直線與平面所成角的正弦值為