Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g(x)=

1

2

λf′(x)+sinx在[-1，1]上的減函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）關(guān)于x的方程lnf（1+x）=2x-m（x∈[

1

e

-1，e-1]）有兩個(gè)根 （無理數(shù)e=2.71828…），求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，從而可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推出g（x），通過g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為λ≥-2sin1，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程lnf（1+x）=2x-m在區(qū)間[ 

1

e

-1，e-1]上有兩個(gè)根（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，得到方程有兩個(gè)根的條件，求出m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²，∴f'（x）=2x，（1分）
∴f'（1）=2，（2分）
∴在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；（3分）
（Ⅱ）∵g（x）=λx+sinx，∴g'（x）=λ+cosx，
∵g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴g'（x）≤0在[-1，1]上恒成立，（4分）
∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，∴λ≤-1，（5分）
∵g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sin1，
∵g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，
∴只需-λ-sin1≤λ+3sin1恒成立，（6分）
∴λ≥-2sin1，
∵sin30°＜sin1，∴1＜2sin1，
∴-2sin1≤λ≤-1；（7分）
（III）由（Ⅰ）知f（1+x）=（1+x）²，∴方程為ln（1+x）²=2x-m，
設(shè)h（x）=ln（1+x）²-2x+m，則方程ln（1+x）²=2x-m根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)h（x）的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，（8分）
∵h′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

，（9分）
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，h′（x）＞0，∴h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（0，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（-∞，-1）和（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴h（x）在[

1

e

-1，0)上為增函數(shù)，在（0，e-1]上為減函數(shù)，
∴h（x）在[

1

e

-1，e-1]的最大值為h（0）=m，（11分）
又h(

1

e

-1)=m-

2

e

，h(e-1)=m+4-2e，2e-4＞

2

e

，
方程有兩根滿足：

h( 1 e -1)≤0 h(0)＞0 h(e-1)≤0

，（12分）
即0＜m≤

2

e

時(shí)，原方程有兩解．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是難題，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)在解決恒成立問題，以及方程的根的應(yīng)用，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，恒成立的應(yīng)用，是難度較大的題目，常考題型．