Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1），由在處取到極值，可得，.

經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，在處取到極小值；（2），令，討論三種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，可得當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足在上恒成立，時(shí)再分兩種情況討論可得時(shí)，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得不滿(mǎn)足題意，進(jìn)而可得結(jié)果.

試題解析：（1），

∵在處取到極值，

∴，即，∴.

經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，在處取到極小值.

（2），令，

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.

又∵，∴時(shí)，，不滿(mǎn)足在上恒成立.

②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，過(guò).

a.當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，

∴，從而在上單調(diào)遞增.

又∵，∴時(shí)，成立，滿(mǎn)足在上恒成立.

b.當(dāng)，即時(shí)，存在，使時(shí)，，單調(diào)遞減；

時(shí)，，單調(diào)遞增，∴.

又∵，∴，故不滿(mǎn)足題意.

③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，在上單調(diào)遞減，

，∴，在上單調(diào)遞減.

又∵，∴時(shí)，，故不滿(mǎn)足題意.

綜上所述，.