Question

某幾何體的直觀圖如圖1，其按一定比例畫(huà)出的三視圖如圖2，三視圖中的長(zhǎng)度a對(duì)應(yīng)直觀圖中2cm．

（1）結(jié)合兩個(gè)圖形，試指出該幾何體中相互垂直的面與相互垂直的線段，并指出相關(guān)線段的長(zhǎng)度；
（2）求AB與CD所成角的大小：
（3）求二面角A-BD-C的平面角的正切值；
（4）計(jì)算該幾何體的體積與表面積．

Answer 1

（1）三棱錐A-BCD中，面ABC⊥面BCD，
∠BCD=90°，∴BC⊥CD，CD⊥平面ABC，∵AC，AB?平面ABC，CD?平面ACD，
∴CD⊥AC，CD⊥AB，平面ACD⊥平面ABC
AC=CD=BC=AB=4，AE=2

3

，E為BC的中點(diǎn)；
（2）面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，
∵CD⊥BC，∴CD⊥面ABC
∵AB?面ABC，∴CD⊥AB
即AB與CD所成的角是90°
（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD于F，連接AF，則EF為AF在平面BCD內(nèi)的射影，由三垂線定理得AF⊥BD，
∴∠AFE即為所求二面角的平面角，
AE=2

3

，在Rt△BEF中，∠EBF=45°，BE=2．
∴EF=

2

，∴tan∠AFE=

AE

EF

=

2 3

2

=

6

．
（4）由三視圖可知AE=2

3

，且為三棱錐的高，
三棱錐A-BCD的體積為V=

1

3

•2

3

•

1

2

×4×4=

16

3

3

（cm³）
由（2）可知CD⊥AC，CD⊥BC
∴S_△ACD=S_△BCD=

1

2

×4×4=8；
S_△ABC=

1

2

×4×2

3

=4

3

；
△ABD中，AF=

AE2+EF2

=

12+2

=

14

，BD=4

2

，∴S△ABD=

1

2

×4×2

7

=4

7

∴S=8+8+4

3

+4

7

=（16+4

3

+4

7

）cm²