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        1. 如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,DE⊥平面ABCD,AFDE,DE=3AF=3.
          (1)求證:AC⊥平面BDE;
          (2)求直線AB與平面BEF所成的角的正弦值;
          (3)線段BD上是否存在點(diǎn)M,使得AM平面BEF?若存在,試確定點(diǎn)M的位置;若不存在,說明理由.
          (1)證明:∵DE⊥平面ABCD,
          ∴DE⊥AC.…2分
          ∵ABCD是正方形,
          ∴AC⊥BD,
          又BD∩DE=D
          從而AC⊥平面BDE.…4分
          (2)∵DA,DC,DE兩兩垂直,
          ∴以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA為x軸,以DC為y軸,以DE為z軸,
          建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示.
          ∵DE=3,由AFDE,DE=3AF=3
          得AF=1.…6分
          則A(2,0,0),F(xiàn)(2,0,1),E(0,0,3),B(2,2,0),∴
          BF
          =(0,-2,1),
          EF
          =(2,0,-2)
          …7分
          設(shè)平面BEF的法向量為
          n
          =(x,y,z)
          ,
          n
          BF
          =0
          n
          EF
          =0
          ,
          -2y+z=0
          2x-2z=0
          ,令z=2,則
          n
          =(2,1,2)
          .…8分
          AB
          =(0,2,0)

          ∴直線AB與平面BEF所成的角θ滿足sinθ=|cos<
          n
          ,
          AB
          >|=
          |
          n
          AB
          |
          |
          n
          ||
          AB
          |
          =
          2
          2×3
          =
          1
          3
          …10分
          (3)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)點(diǎn),設(shè)M(t,t,0),
          AM
          =(t-2,t,0)
          ,
          ∵AM平面BEF,
          AM
          n
          =0,…11分
          即2(t-2)+t=0,解得t=
          4
          3
          .…12分
          此時(shí),點(diǎn)M坐標(biāo)為(
          4
          3
          ,
          4
          3
          ,0)
          .…13分.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,AA1=
          2
          ,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)
          (1)求證:D1E⊥平面AB1F;
          (2)求直線AB與平面AB1F所成的角;
          (3)求二面角A-B1F-B的大小.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,PA=AB=BC=AC,E是PC的中點(diǎn).
          (1)求證:PD⊥平面ABE;
          (2)求二面角A-PD-C的平面角的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,PA⊥平面ABCD,ABCD為正方形,,且PA=AD=2,E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn).
          (1)求證:面EFG⊥面PAB;
          (2)求異面直線EG與BD所成的角的余弦值;
          (3)求點(diǎn)A到面EFG的距離.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC,CP的中點(diǎn),AB=AC=1,PA=2,則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為(  )
          A.
          1
          5
          B.
          2
          5
          C.
          5
          5
          D.
          2
          5
          5

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,點(diǎn)E為棱CC′上任意一點(diǎn),AB=BC=2,CC′=1.
          (Ⅰ)求證:平面ACC′A′⊥平面BDE;
          (Ⅱ)若點(diǎn)P為棱C′D′的中點(diǎn),點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn),求二面角P-BD-E的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于矩形AEDC中,B點(diǎn)為ED的中點(diǎn),AC=AA1=2AE=2.
          (1)求異面直線AB1與A1D所成角的余弦值;
          (2)求平面A1B1E與平面AEDC所成二面角大小的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          下列說法正確的是( ).
          A.方向相同或相反的向量是平行向量
          B.零向量是
          C.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量
          D.共線向量是在一條直線上的向量

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),+=2,則( 。
          A.+=B.+=
          C.+=D.++=

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          同步練習(xí)冊(cè)答案