Question

（2013•松江區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，設(shè)F（x）=x²•f（x），則F（x）是（　　）

A．奇函數(shù)，在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減

B．奇函數(shù)，在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增

C．偶函數(shù)，在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增

D．偶函數(shù)，在（-∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減

Answer 1

分析：由f（-x）=-f（x）可知f（x）為奇函數(shù)，利用奇偶函數(shù)的概念即可判斷設(shè)F（x）=x²•f（x）的奇偶性，從而得到答案．

解答：解：∵f（-x）=

-1，x＞0 0，x=0 1，x＜0

=-

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
又F（x）=x²•f（x），
∴F（-x）=（-x）²•f（-x）=-x²•f（x）=-F（x），
∴F（x）是奇函數(shù)，可排除C，D．
又F（x）=x²•f（x）=

x2，x＞0 0，x=0 -x2，x＜0

，
∴F（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，可排除A，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，著重考查函數(shù)奇偶性的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．