Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為 ，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意 ∴b=1，∴所求橢圓方程為 ．
（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)， ．

②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．

由已知 ，得 ．

把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，

∴ ， ．

∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=

=

=

=

= ．

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號成立．當(dāng)k=0時(shí)， ，

綜上所述|AB|max=2．∴當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB面積取最大值 ．

【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意求出a，b的值，從而得到所求橢圓的方程．（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．（1）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)， ．（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．由已知 ，得 ．把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，然后由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：)．