Question

已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系式：，.
（1）若，證明：（�。┊�(dāng)時(shí)，有；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，有.
（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，有.

Answer 1

證明略

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124051038940.gif" style="vertical-align:middle;" />，故，即數(shù)列為遞增數(shù)列.
（1）（�。┯�及可求得，于是當(dāng)時(shí)，，于是，即當(dāng)時(shí)，.
…………………………5分
（ⅱ）由于時(shí)，，所以時(shí)，.
由可得.
先用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的不等式成立：  （）.
Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立.
Ⅱ）假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，即，則結(jié)合（�。┑慕Y(jié)論可得
，即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立.
綜合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式對(duì)一切都成立.
因此，當(dāng)時(shí)，，即.
又，，所以當(dāng)時(shí)，有.
…………………………10分
（2）由于，而數(shù)列為遞增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，有.
由可得，而，于是
.
下面先證明：當(dāng)時(shí)，有                       （*）
Ⅰ）根據(jù)及計(jì)算易得，
，而，
故，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.
Ⅱ）假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823124052895646.gif" style="vertical-align:middle;" />，而函數(shù)在時(shí)為增函數(shù)，所以
，
即當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立.
綜合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式對(duì)一切都成立.
于是當(dāng)時(shí)，，故，所以.
…………………………20分