Question

【題目】出版商為了解某科普書一個(gè)季度的銷售量（單位：千本）和利潤（單位：元/本）之間的關(guān)系，對(duì)近年來幾次調(diào)價(jià)之后的季銷售量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下的10組數(shù)據(jù).

序號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	2.4	3.1	4.6	5.3	6.4	7.1	7.8	8.8	9.5	10
	18.1	14.1	9.1	7.1	4.8	3.8	3.2	2.3	2.1	1.4

根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出如圖所示的散點(diǎn)圖：

（1）根據(jù)圖中所示的散點(diǎn)圖判斷和哪個(gè)更適宜作為銷售量關(guān)于利潤的回歸方程類型？（給出判斷即可，不需要說明理由）

（2）根據(jù)（1）中的判斷結(jié)果及參考數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程；

（3）根據(jù)回歸方程設(shè)該科普書一個(gè)季度的利潤總額為（單位：千元），當(dāng)季銷售量為何值時(shí)，該書一個(gè)季度的利潤總額預(yù)報(bào)值最大？（季利潤總額=季銷售量×每本書的利潤）

參考公式及參考數(shù)據(jù)：

①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的公式分別為.

②參考數(shù)據(jù)：

6.50	6.60	1.75	82.50	2.70

表中.另：.計(jì)算時(shí)，所有的小數(shù)都精確到0.01.

Answer 1

【答案】（1））更適宜（2）（3）季銷量千本時(shí)，季利潤總額預(yù)報(bào)值最大

【解析】

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖對(duì)應(yīng)的圖象特征判斷.

（2）采用換元法令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，再將代入求解.

（3）根據(jù)題意建立函數(shù)模型，再利用導(dǎo)數(shù)法求解.

（1）更適宜作為銷售量關(guān)于利潤的回歸方程類型；

（2）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，

由于，

，

所以關(guān)于的線性回歸方程為，

即關(guān)于的回歸方程為.

（3）由題意得，，

令即，解得，所以.

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，即季銷量千本時(shí)，季利潤總額預(yù)報(bào)值最大.