Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝（x2－1）lnx－x2＋2x．

（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；

（2）證明：f（x）≥1．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）f′（x）=+2xlnx﹣2x+2=2xlnx﹣x﹣+2．可得f′（2），f（2）=3ln2．利用點(diǎn)斜式即可得出切線方程．

（2）f（x）≥1（x2﹣1）lnx﹣（x﹣1）2≥0．當(dāng)x=1時(shí)，不等式成立．所以只需證明：x＞1時(shí)，lnx≥；0＜x＜1時(shí)，lnx≤．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，即可得出．

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

，

.

.

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為

.

即.

（2）證明：

當(dāng)x=1時(shí)，不等式顯然成立.

所以只需證明當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

令，則.

，

∴函數(shù)在上是增函數(shù).

∴當(dāng)x＞1時(shí)，；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，.