Question

【題目】已知橢圓：的離心率，右頂點(diǎn)為.

（1）求的方程；

（2）直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，若在軸上存在一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)離心率的定義和橢圓中的關(guān)系即可求得的值；（2）若在軸上存在一點(diǎn)，使得即在的垂直平分線上，整理直線與曲線的方程，求出弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)，斜率之積為即可求得的橫坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系，利用均值不等式即可求得的橫坐標(biāo)的取值范圍.

試題解析：（1）由題意可知：，，，

聯(lián)立解得，，.

所求橢圓的方程為：.

（2）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立：，

化簡(jiǎn)整理可得：，

設(shè)，.

則，.

設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

則，.

設(shè)軸上點(diǎn)坐標(biāo)為，使得，

依題意可得：.

①當(dāng)時(shí)，直線平行于軸，易知：此時(shí)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，其坐標(biāo)為（0,0）；

②當(dāng)時(shí)，有，

，

從而，

而，或，

故或.

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.

即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.