Question

【題目】設為非負實數(shù)，函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)，并求出零點.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）當時， ，分段求單調(diào)區(qū)間即可；

（2）討論和兩種情況，其中當時， ，分別求兩端的零點個數(shù)即可.

試題解析：

（1）當時， ，

①當時， ，

∴在上單調(diào)遞增；

②當時， ，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

綜上所述， 的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）（1）當時， ，函數(shù)的零點為；

（2）當時， ，

故當時， ，二次函數(shù)對稱軸為，

∴在上單調(diào)遞增， ；

當時， ，二次函數(shù)對稱軸，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

∴的極大值為，

當，即時，函數(shù)與軸只有唯一交點，即唯一零點，

由解之得，函數(shù)的零點為或（舍去）；

當，即時，函數(shù)與軸有兩個交點，即兩個零點，分別為和；

當，即時，函數(shù)與軸有三個交點，即有三個零點，

由，解得， ，

∴函數(shù)的零點為和，

綜上可得，當時，函數(shù)的零點為0；

當時，函數(shù)有一個零點，且零點為；

當時，有兩個零點2和；

當時，函數(shù)有三個零點和.