Question

【題目】已知向量 =（m，cos2x）， =（sin2x，n），設函數f（x）= ，且y=f（x）的圖象過點（ ， ）和點（ ，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個單位后得到函數y=g（x）的圖象．若y=g（x）的圖象上各最高點到點（0，3）的距離的最小值為1，求y=g（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）已知： ， ，

則： =msin2x+ncos2x，

y=f（x）的圖象過點y=f（x）的圖象過點（ ， ）和點（ ，﹣2）．

則： 解得： ，

即：m= ，n=1

（Ⅱ）由（Ⅰ）得： = ，f（x）向左平移φ個單位得到：

g（x）=2sin（2x+2Φ+ ），

設g（x）的對稱軸x=x0，最高點的坐標為：（x0，2）點（0，3）的距離的最小值為1，則： ，

則：g（0）=2，

解得：Φ= ，

所以：g（x）=2sin（2x+ ）=2cos2x．

令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ （k∈Z）

則：單調遞增區(qū)間為：[ ]（k∈Z）

故答案為：（Ⅰ）m= ，n=1

（Ⅱ）單調遞增區(qū)間為：[ ]（k∈Z）

【解析】（Ⅰ）首先根據向量的數量積的坐標運算求得f（x）=msin2x+ncos2x，進一步根據圖象經過的點求得：m和n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得： = ，f（x）向左平移φ個單位得到g（x）=2sin（2x+2Φ+ ）設g（x）的對稱軸x=x0，最高點的坐標為：（x0，2）點（0，3）的距離的最小值為1，則：g（x）=2sin（2x+ ）=2cos2x，進一步求得單調區(qū)間．
【考點精析】本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識點，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象才能正確解答此題．