Question

【題目】已知定點、，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設直線與曲線交于、兩點，若直線與斜率之積為，求證：直線過定點，并求定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）曲線的方程為 ；（2）直線過定點，定點坐標為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設動點，則 ， ，即，化簡即可得結(jié)果；（Ⅱ）設的方程為，則聯(lián)立方程組

，消去得 ，設，根據(jù)斜率公式及韋達定理可得解得解得 或，驗證當時，直線的方程為.直線過定點.

試題解析：（Ⅰ）設動點，則 ，

，即，

化簡得： ，由已知，

故曲線的方程為 .

（Ⅱ）由已知直線斜率為0時，顯然不滿足條件。

當直線 斜率不為0時，設的方程為，則聯(lián)立方程組

，消去得 ，

設，則，

直線與斜率分別為 , ，

，

由已知得，化簡得，解得 或，

當時，直線的方程為過點A，顯然不符合條件，故舍去；

當時，直線的方程為.直線過定點.

綜上，直線過定點，定點坐標為.