Question

【題目】斜率為k的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y＝x2的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段|AB|的長(zhǎng)為8.

(1)求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；

(2)求直線(xiàn)的斜率k.

Answer 1

【答案】（1）焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)，y＝－1（2）k＝±1

【解析】

（1）結(jié)合拋物線(xiàn)性質(zhì)，計(jì)算焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，即可。（2）結(jié)合拋物線(xiàn)定義，計(jì)算出的值，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，得到，將直線(xiàn)l方程代入拋物線(xiàn)方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算k，即可。

(1)化y＝x2為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝4y，

由此，可知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－1.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由拋物線(xiàn)的定義知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，

于是|AB|＝y1＋y2＋2，

又|AB|＝8，所以y1＋y2＝6，

由(1)得，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(0,1)，

所以直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋1，

所以kx1＋1＋kx2＋1＝6，k(x1＋x2)＝4，

由直線(xiàn)l的方程與拋物線(xiàn)方程得kx＋1＝，

即x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，所以x1＋x2＝4k，

代入k(x1＋x2)＝4，得k2＝1，k＝±1.