Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，點為棱的中點..

證明：平面.

若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】證明見解析；.

【解析】

在上找中點，連接,，利用三角形中位線性質(zhì)得出，因為底面是直角梯形，,所以能得出平行且等于，得出四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定，即可證出平面；

根據(jù),求出向量的坐標，進而求出平面和平面的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角的余弦值.

解：證明：在上找中點，連接,，圖象如下：

和分別為和的中點，

，且,

又底面是直角梯形，

，且，

且.即四邊形為平行四邊形.

.

平面，平面，

平面.

以為原點，以所在直線為軸,所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

可得，,，，，

,， .

由為棱上一點，設(shè),

所以,

由，得,

解得，

即,,

設(shè)平面的法向量為，

由可得

所以，令，則，則，

取平面的法向量為，

則二面角的平面角滿足：

,

故二面角的余弦值為.