Question

（2013•松江區(qū)二模）如圖，現(xiàn)將一張正方形紙片進(jìn)行如下操作：第一步，將紙片以D為頂點(diǎn)，任意向上翻折，折痕與BC交于點(diǎn)E₁，然后復(fù)原，記∠CDE₁=α₁；第二步，將紙片以D為頂點(diǎn)向下翻折，使AD與E₁D重合，得到折痕E₂D，然后復(fù)原，記∠ADE₂=α₂；第三步，將紙片以D為頂點(diǎn)向上翻折，使CD與E₂D重合，得到折痕E₃D，然后復(fù)原，記∠CDE₃=α₃；按此折法從第二步起重復(fù)以上步驟…，得到α₁，α₂，…，α_n，…，則

lim

n→∞

αn=

π

6

．

Answer 1

分析：由第二步、第三步，…依此類推：αn=

1

2

(

π

2

-αn-1)（n≥2）．若α1=

π

6

，則αn=

π

6

；若α1≠

π

6

，則數(shù)列{αn-

π

6

}是以α1-

π

6

為首項(xiàng)，-

1

2

為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式就得出α_n，再利用數(shù)列極限即可得出．

解答：解：由第二步可知：α2=

1

2

(

π

2

-α1)；由第三步可知：α3=

1

2

(

π

2

-α2)，…依此類推：αn=

1

2

(

π

2

-αn-1)（n≥2）．
∴αn=-

1

2

αn-1-

π

4

，
∴αn-

π

6

=-

1

2

(αn-1-

π

6

)，
①若α1=

π

6

，則αn=

π

6

，此時(shí)

lim

n→∞

αn=

π

6

；
②若α1≠

π

6

，則數(shù)列{αn-

π

6

}是以α1-

π

6

為首項(xiàng)，-

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴αn-

π

6

=(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1，即αn=(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1+

π

6

．
∴

lim

n→∞

αn=

lim

n→∞

[(α1-

π

6

)(-

1

2

)n-1+

π

6

]=

π

6

．
綜上可知：

lim

n→∞

αn=

π

6

．
故答案為

π

6

．

點(diǎn)評：由第二步、第三步，…依此類推：αn=

1

2

(

π

2

-αn-1)（n≥2）．及熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列極限的定義和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．