Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

1

2

x2+bx+c，且f（x）在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）若當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍；
（3）c為何值時，曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點．

Answer 1

（1）∵f（x）=x³-

1

2

x2+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1處取極值，
∴f′（1）=0…（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2…（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-x-2
令f′（x）=0，則x=-

2

3

，或x=1…..（4分）
∵x∈（-∞，-

2

3

）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-

2

3

，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴在閉區(qū)間[-1，2]上，f（x）單調(diào)遞增…（5分）
∴在閉區(qū)間[-1，2]上，f（x）的最大值為f（2）=2+c＜c²，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1…（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的極大值為f（-

2

3

）=

22

27

+c，
f（x）的極小值為f（1）=c-

3

2

…（8分）
∵當(dāng)f（-

2

3

）＜0，或f（1）＞0時，曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點…．（9分）
∴

22

27

+c＜0，或c-

3

2

＞0，
即c＜-

22

27

，或c＞

3

2

時，
曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點…（10分）