Question

【題目】已知函數(shù)（）.

(1)若，求函數(shù)的極大值；

(2)若時，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時， ，對其求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，故而可得其極值；（2）對求導(dǎo)， ，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，不等式成立；當(dāng)時，對其進(jìn)行二次求導(dǎo)，可得恒成立， 單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在定理可得有唯一零點，進(jìn)而可得當(dāng)時， 單調(diào)遞減，且，即不恒成立；

試題解析：（1）時， ，當(dāng)， 時， ， 單調(diào)遞增，當(dāng)， 時， ， 單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時， 取得極大值， .

（2）

當(dāng)，即時， ，所以單調(diào)遞增，所以；

當(dāng)時， ，

所以單調(diào)遞增， ， ，所以有唯一零點，記為，當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，且，即不恒成立；綜上所述， 的取值范圍是.