Question

【題目】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，在橢圓L上的點(diǎn)滿足，且，，成等差數(shù)列．

（1）求橢圓L的方程；

（2）過點(diǎn)A作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，，它們與橢圓L的另一個(gè)交點(diǎn)分別為B，C，試問直線BC的斜率是否是定值？若是，求出該斜率；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）斜率為，是定值．

【解析】

（1）由已知，，成等差數(shù)列，，由結(jié)合焦半徑公式可得，進(jìn)一步求得，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）由（1）求得A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立求得B的坐標(biāo)，同理求得C的坐標(biāo)，再由斜率公式可得直線BC的斜率為，是定值．

（1）由，，成等差數(shù)列，得，即，

又，，即，

聯(lián)立①②，解得，，．

橢圓L的方程為；

（2）取，得，，

直線，的傾斜角互補(bǔ)，直線，的斜率互為相反數(shù)．

可設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓方程，得，

設(shè)，，點(diǎn)在橢圓上，

，，，

又直線AC的斜率與AB的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代替k，可得，，

直線BC的斜率．

故直線BC的斜率為，是定值．