Question

【題目】已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．

（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；

（2）已知直線(xiàn)，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值為

【解析】

（1）根據(jù)題意可得，，根據(jù)周長(zhǎng)可得，結(jié)合，求解可得，，所以曲線(xiàn)C的方程為：；

（2）求出與l平行且與C相切的直線(xiàn)，利用平行直線(xiàn)間距離公式可得最小值．

（1）由題得，所以，，

又，所以，，，

因?yàn)?/span>的周長(zhǎng)為，

所以①，

又因?yàn)?/span>②，

①－②，得，

即，解得，，

所以曲線(xiàn)C的方程為：；

（2）設(shè)與直線(xiàn)平行且與C相切的直線(xiàn)方程為，

由得，

則，解得．

設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為d，則根據(jù)平行線(xiàn)間的距離公式可得，，

所以當(dāng)時(shí)，d取最小值為.