Question

本題滿分14分) 設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為．若在上，有恒成立，則稱函數(shù)在
上為“凸函數(shù)”．已知．
(Ⅰ) 若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，試確定實(shí)數(shù)的值；
(Ⅱ) 若當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時(shí)，函數(shù)在上總為“凸函數(shù)”，求的最大值．

Answer 1

解：由函數(shù)得， （3分）
(Ⅰ) 若為區(qū)間上的“凸函數(shù)”，則有在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像，當(dāng)且僅當(dāng)
，
即．                                     （7分）
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，恒成立．                                                    （8分）
當(dāng)時(shí)，顯然成立                      （9分）
當(dāng)，∵的最小值是．∴．
從而解得                                        （11分）
當(dāng)，∵的最大值是，∴，
從而解得．  
綜上可得，從而             （14分）

略