Question

【題目】在△ABC中，已知AB= ，cosB= ，AC邊上的中線BD= ，求sinA的值．

Answer 1

【答案】解：解法一：設E為BC的中點，連接DE，則DE∥AB，且DE= AB= ，設BE=x．
由DE∥AB可得出∠BED=π﹣∠B，即cos∠BED=﹣
在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2﹣2BEEDcos∠BED，5=x2+ +2× × x，
解得x=1，x=﹣ （舍去）．
故BC=2，從而AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcosB= ，即AC=
又sinB= ，故 = ，sinA= ．
解法二：以B為坐標原點， 為x軸正向建立直角坐標系，且不妨設點A位于第一象限．
由sinB= ，則 =（ cosB， sinB）=（ ， ），
設 =（x，0），則 =（ ， ）．
由條件得| |= = ．
從而x=2，x=﹣ （舍去）．故 =（﹣ ， ）．
于是cosA= = = ．
∴sinA= = ．
解法三：過A作AH⊥BC交BC于H，延長BD到P使BD=DP，連接AP、PC．
過P做PN⊥BC交BC的延長線于N，則HB=ABcosB= ，AH= ，
BN= = = = ，
而 HB= ，∴CN= ，HC= ，AC= = ．
故由正弦定理得 = ，∴sinA= ．

【解析】解三角形的特征是把題目中所給的條件全部集合到一個三角形中，依次解出邊、角，達到解三角形的目的．
方法一通過充分利用D是中點，構造新三角形，在新三角形中解出BC的一半求出BC，再由余弦定理求邊AC，下則可用正弦定理求出sinA；
方法二根據(jù)所給的條件巧妙地建立了一個直角坐標系，將三角問題轉化到向量中研究，大大降低了分析問題的難度，首先是求出了 ， 兩個向量，利用公式求出了兩個向量的夾角A的余弦，再求正弦．此法越過了構造新三角形，使得方法易想．
方法三與方法一類似構造了一系列的新三角形，此方法充分利用D是中點這一性質(zhì)構造出了一個平行四邊形，使得求三角形的另兩邊的邊長時視野開闊，方法也較巧妙．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．