已知

(1)若

時,求函數(shù)

在點

處的切線方程;
(2)若函數(shù)

在

上是減函數(shù),求實數(shù)

的取值范圍;
(3)令

是否存在實數(shù)

,當

是自然對數(shù)的底)時,函數(shù)

的最小值是3,
若存在,求出

的值;若不存在,說明理由.
試題分析:(1)

時,利用求導法則得到

的導函數(shù),計算知

,即切線斜率為1,再得到

,從而通過直線的點斜式方程得到所求切線方程;(2)函數(shù)

在

上是減函數(shù),即導函數(shù)

在

上是恒小于或等于0.

,在

上分母

恒為正,所以分子

,令

,則

為開口向上的二次函數(shù).所以本題轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題.

,故兩個可能的最大值

,得實數(shù)

的取值范圍

;(3)對

求導,討論

的范圍,研究導數(shù)的正負從而確定

在

上的單調性,得到其最小值,由條件最小值是3得到

的值,注意此時還要判斷

是否在所討論的范圍內,若不在則要予以舍去.
試題解析:(1)當

時,

1分

函數(shù)

在點

處的切線方程為

3分
(2)函數(shù)

在

上是減函數(shù)

在

上恒成立 4分
令

,有

得

6分

7分
(3)假設存在實數(shù)

,使

在

上的最小值是3

8分
當

時,

,

在

上單調遞減,


(舍去) 10分
當

且

時,即

,

在

上恒成立,

在

上單調遞減

,

(舍去) 11分
當

且

時,即

時,令

,得

;

,得


在

上單調遞減,在

上單調遞增

,

滿足條件 13分
綜上所述,存在實數(shù)

,使

在

上的最小值是3 14分
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

,

.
(Ⅰ)設

(其中

是

的導函數(shù)),求

的最大值;
(Ⅱ)求證:當

時,有

;
(Ⅲ)設

,當

時,不等式

恒成立,求

的最大值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設函數(shù)
(1)證明 當

,

時,

;
(2)討論

在定義域內的零點個數(shù),并證明你的結論.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

(

).
(1)當

時,求函數(shù)

的單調區(qū)間;
(2)當

時,

取得極值.
① 若

,求函數(shù)

在

上的最小值;
② 求證:對任意

,都有

.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

,

.
(Ⅰ)求

的極值;
(Ⅱ)當

時,若不等式

在

上恒成立,求

的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設函數(shù)

則

的單調減區(qū)間( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
若函數(shù)

在

上的導函數(shù)為

,且不等式

恒成立,又常數(shù)

,滿足

,則下列不等式一定成立的是
.
①

;②

;③

;④

.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設函數(shù)

的導函數(shù)為

,對任意

都有

成立,則( 。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

在區(qū)間[-2,2]的最大值為20,求它在該區(qū)間的最小值。
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