Question

如圖，四棱錐 E-ABCD中，EA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AD=AE=CD=2AB，M是EC的中點．
（I）求證：平面BCE⊥平面DCE；
（II）求銳二面角M-BD-C平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）建立空間直角坐標系，確定平面BCE的法向量、平面DCE的法向量，利用法向量的垂直關(guān)系，證明面面垂直；
（II）求得

AE

為平面BCD的法向量，平面BDM的法向量

k

=(2，1，-1)，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：（I）證明：由于平面ABCD，AB⊥AD，可建立以點A為坐標原點，直線AB、AD、AE分別為x，y，z軸的空間直角坐標系．
設(shè)AB=1，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），C（2，2，0），
∵M是EC的中點，∴M（1，1，1）

BC

=(1，2，0)，

CE

=(-2，-2，2)，

CD

=(-2，0，0)，

BM

=(0，1，1)，

BD

=(-1，2，0)
設(shè)平面BCE的法向量為

m

=(x1，y1，z1)，平面DCE的法向量為

n

=(x2，y2，z2)，則有：

m • BC =0 m • CE =0

，∴

x1+2y1=0 -2x1-2y1+2z1=0

∴可取

m

=(-2，1，-1)
同理：

n

=(0，1，1)
又

m

•

n

=0+1-1=0，∴

m

⊥

n

，
∴平面BCE⊥平面DCE
（II）解：由題意可知向量

AE

為平面BCD的法向量，設(shè)平面BDM的法向量為

k

=(x3，y3，z3)
∴

k • BD =0 k • BM =0

，∴

-x3+2y3=0 y3+z3=0

令y₃=1，則x₃=2，z₃=-1
∴

k

=(2，1，-1)
又

AE

=(0，0，2)，∴cos＜

k

，

AE

＞=

-2

4+1+1 •2

=-

6

6

，
∴銳二面角M-BD-C平面角的余弦值為

6

6

．

點評：本題考查面面垂直，考查向量知識的運用，考查面面角，解題的關(guān)鍵是確定平面的法向量．