Question

如圖，四棱錐E-ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，
且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）求三棱錐D-AEC的體積；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得BC⊥平面EAB，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到BC⊥EA，同理BF⊥EA，由線面垂直判定定理可得EA⊥平面EBC，再由線面垂直的性質(zhì)即可得到AE⊥BE；
（2）設(shè)O為AB的中點，連接EO，可證得EO為三棱錐E-ADC的高，求出三棱錐的底面面積和高的長度，代入棱錐體積公式，即可求出答案．
（3）以O(shè)為原點，分別以O(shè)E、OB所在直線為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面ACD和平面ECD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A-CD-E的余弦值．

解答：證明：（1）∵ABCD是矩形，
∴BC⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
平面EAB∩平面ABCD=AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面EAB，
∵EA?平面EAB，
∴BC⊥EA，
∵BF⊥平面ACE，EA?平面ACE，
∴BF⊥EA，
∵BC∩BF=B，BC?平面EBC，BF?平面EBC，
∴EA⊥平面EBC，
∵BE?平面EBC，
∴EA⊥BE．
解：（2）∵EA⊥BE，
∴AB=

AE2+BE2

=2

2

S_△ADC=

1

2

×AD×DC=

1

2

×BC×AB=2

2

設(shè)O為AB的中點，連接EO，
∵AE=EB=2，
∴EO⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，即EO為三棱錐E-ADC的高，且EO=

1

2

AB=

2

，
∴V_D-ABC=V_E-ADC=

1

3

•S_△ADC×EO=

4

3

．
（3）以O(shè)為原點，分別以O(shè)E、OB所在直線為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，則E（

2

，0，0），C（0，

2

，2），A（0，-

2

，0），D（0，-

2

，2），
∴

OE

=（

2

，0，0），

CD

=（0，-2

2

，0），

DE

=（

2

，

2

，-2），
由（2）知

OE

=（

2

，0，0）是平面ACD的一個法向量，設(shè)平面ECD的法向量為

m

=（x，y，z），
則

m • DE =0 m • CD =0

，即

2 x+ 2 y-2z=0 -2 2 y=0

，令x=

2

，則y=0，z=1，
所以

m

=（

2

，0，1），設(shè)二面角A-CD-E的平面角的大小為θ，由圖得0＜θ＜

π

2

，
cosθ=cos＜

OE

，

m

＞=

6

3

所以二面角A-CD-E的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面及求示，棱錐的體積，平面與平面垂直的性質(zhì)，熟練掌握空間線線垂直、線面垂直及面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化及辯證關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．