Question

如圖，四棱錐E—ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB平面ABCD,AE=EB=BC=2,F為CE上的點，且BF平面ACE．

（1）求證：AEBE；

（2）求三棱錐D—AEC的體積；

（3）求二面角A—CD—E的余弦值．

Answer 1

(2)4/3  (3)

解析:

（1）證明：ABCD是矩形

BCAB

平面EAB平面ABCD，平面EAB平面ABCD=AB，BC平面ABCD

BC平面EAB      

EA平面EAB

BCEA        ……2分

BF平面ACE，EA平面ACE

 BF EA          ……3分

 BC BF=B，BC平面EBC，BF平面EBC

 EA平面EBC              

BE平面EBC

 EA BE                      ……5分

(2)  EA BE

AB=

    ……6分

設O為AB的中點，連結EO，

AE=EB=2

EOAB

平面EAB平面ABCD

EO平面ABCD，即EO為三棱錐E—ADC的高，且EO=   ……8分

      ……9分

(3)以O為原點，分別以OE、OB所在直線為，如圖建立空間直角坐標系，則，

  

 ……10分

由（2）知是平面ACD的一個法向量，

設平面ECD的法向量為，則

即

令，則，所以    ……12分

設二面角A—CD—E的平面角的大小為，由圖得，則

     ……13分

所以二面角A—CD—E的余弦值為     ……14分

若（1）、（2）問都用向量做，按步驟給分就可以