如圖，在底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱
中，P是側(cè)棱
上的一點，
.
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD1B1所成角為60º；
（2）在線段
上是否存在一個定點
，使得對任意的m，
⊥AP，并證明你的結(jié)論. 
（１）60º. （２）Q為
的中點
解析試題分析：（１）利用空間向量研究線面角，關(guān)鍵在于正確表示各點坐標，正確求出平面一個法向量，正確理解線面角與向量夾角之間互余的關(guān)系. 建立空間直角坐標系，則A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,2). 所以
又由
知
為平面
的一個法向量. 
=
，解得
（２）同（1）若在上存在這樣的點Q，設(shè)此點的橫坐標為x，則
.
，即Q為的中點.
（１）建立空間直角坐標系，則
A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),
B1(1,1,1), D1(0,0,2).所以又由
的一個法向量.設(shè)
與
所成的角為
，
則
=， 5分
解得.故當時，直線AP與平面
所成角為60º. 7分
（２）若在上存在這樣的點Q，設(shè)此點的橫坐標為x，
則.
依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等價于
即Q為的中點時，滿足題設(shè)的要求. 14分
考點：利用空間向量研究線面關(guān)系
暑假作業(yè)暑假快樂練西安出版社系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
（2013•天津）如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA1=AB=2，E為棱AA1的中點．
（1）證明B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
（3）設(shè)點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為
，求線段AM的長．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在三棱錐
中，直線
平面
，且
，又點
，
，
分別是線段
，
，
的中點，且點
是線段
上的動點．
證明：直線
平面
；
(2) 若
，求二面角
的平面角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐
中，
平面
，底面是直角梯形，
，
∥
，且
，
，
為
的中點．
（1）設(shè)與平面
所成的角為
，二面角
的大小為
，求證：
；
（2）在線段
上是否存在一點
（與
兩點不重合），使得
∥平面
? 若存在，求
的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如下圖，在四棱柱
中，底面
和側(cè)面
都
是矩形，
是
的中點，
，
.
（1）求證：
（2）求證：
平面
；
（3）若平面與平面
所成的銳二面角的大小為
，求線段
的長度.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝
AB.
(1)證明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角DA1CE的正弦值．.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題
我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A（—3，4），且法向量為
的直線（點法式）方程為
類比以上方法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點A（1，2，3）且法向量為
的平面（點法式）方程為 。（請寫出化簡后的結(jié)果）
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中，
，
，
，平面
⊥平面
，
是線段
上一點，
，
．
⊥平面
；
，求直線
與平面
所成角的正弦值．
中，
底面
，
，
，
分別是棱
，
的中點，
為棱
上的一點，且
//平面
.
的值；
；
的余弦值.