Question

【題目】已知，設(shè)函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在整數(shù)，對(duì)于任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意單調(diào)，求導(dǎo)，令，分，兩者情況討論求解.

（2）先求時(shí)，的根，得到區(qū)間，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo) ，討論，時(shí)，，當(dāng)且，利用等比數(shù)列求和公式得到，分析得，得到在R上是減函數(shù)，再論證，，利用零點(diǎn)存在定理得到結(jié)論.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，，

令，

，

當(dāng)時(shí)，，，所以在R上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不等根，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在遞減，在上遞增.

綜上：當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，

當(dāng)時(shí)， 的減區(qū)間是，，增區(qū)間是.

（2）存在，對(duì)于任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，理由如下：

當(dāng)時(shí)，，令，解得，

所以關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解.

當(dāng)時(shí)，，，

若，則，

若，，

若且，，當(dāng)時(shí)，，所以

當(dāng)時(shí)，，所以，

故在R上是減函數(shù).

又，

，

，

，

所以方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解.

綜上：對(duì)于任意，關(guān)于的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，所以.