Question

【題目】已知拋物線，直線過焦點(diǎn)且與拋物線交于、兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角為30°時(shí)，．

（1）求拋物線方程．

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在定點(diǎn)，當(dāng)直線繞旋轉(zhuǎn)時(shí)始終都滿足平分．若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

設(shè)、，

（1）根據(jù)拋物線方程，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得出直線的方程，代入拋物線方程，根據(jù)弦長公式，列出等式，求解，即可得出結(jié)果；

（2）先由直線斜率不存在時(shí)，、關(guān)于軸對稱，易知點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，得到，，再由平分，得到，即，化簡整理，進(jìn)而可求出，即可得出結(jié)果.

設(shè)、，

（1）由題意知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)直線的方程為：，代入整理得，

所以，

所以，因此，

故拋物線方程為；

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，、關(guān)于軸對稱，易知點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)為，

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，

所以，，

因?yàn)?/span>平分，

所以，即，所以，

因此，

即，即，解得.

故存在滿足平分，且坐標(biāo)為.