Question

【題目】如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD=AE，F是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A﹣BCF，其中BC=．

（Ⅰ）證明：DE∥平面BCF；

（Ⅱ）證明：CF⊥平面ABF；

（Ⅲ）當AD=時，求三棱錐F﹣DEG的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先證明DE∥BC，然后，根據線面平行的判定定理，容易得到結論；（Ⅱ）可以通過證明AF⊥CF和CF⊥BF，從而證明CF⊥平面ABF；（Ⅲ）根據（Ⅰ）容易得到：GE⊥平面DFG，然后借助于體積公式進行求解

試題解析：（1）在等邊三角形ABC中，AD=AE，

∴，在折疊后的三棱錐A﹣BCF中也成立，

∴DE∥BC．

又∵DE平面BCF，BC平面BCF，

∴DE∥平面BCF． …………………4分

（2）在等邊三角形ABC中，F是BC的中點，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．

∵在三棱錐A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．

又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF． …………………8分

（3）由（1）可知GE∥CF，結合（2）可得GE⊥平面DFG．

∴=．………12分