Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，且，.

（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；

（3）若對任意正整數(shù)，不等式均成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.；（2）；（3）最大值為4.

【解析】

根據(jù)即可求出數(shù)列的通項公式,再結(jié)合，，即可求出等差數(shù)列的通項公式;

由知,,利用錯位相減法求其前n項和即可;

由知,,利用分離參數(shù)法可得, 等價于,令,利用數(shù)列單調(diào)性的定義求數(shù)列的最小值即可.

（1）當(dāng)時，；

當(dāng)時，，此式當(dāng)時也成立.

∴.

∴，.

∵，，

∴，，公差，

由等差數(shù)列通項公式得,;

（2）由（1）知, ，，

所以，

所以數(shù)列的前n項和為，

，

兩式相減可得，

；

（3）因為，

所以等價于，

令，

則

當(dāng)時，.

而，數(shù)列從第2項起是遞增數(shù)列，

故，

所以即實數(shù)的最大值為4.