Question

【題目】已知（且m為常數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若對(duì)任意的，都存在，使得（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）求出，對(duì)分類討論，求出的解，就可得出結(jié)論；

（2）設(shè)，所求的問題轉(zhuǎn)化為，通過求導(dǎo)數(shù)法，求出取最大值時(shí)自變量與的關(guān)系，而對(duì)任意的都成立，將用表示，構(gòu)造新函數(shù)，再求導(dǎo)求出新函數(shù)的最小值，即可求出結(jié)論.

（1）的定義域?yàn)?/span>，

，當(dāng)時(shí)，恒成立，

當(dāng)時(shí)，，

綜上，當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間，

當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；

（2）設(shè)，依題意，

，令，

恒成立，在是減函數(shù)，

即在是減函數(shù)，，

，存在唯一，使得，

當(dāng)，

遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，

取得極大值，也是最大值為，

，

對(duì)于對(duì)任意的恒成立，

其中，，

即，

對(duì)于對(duì)任意的恒成立，

設(shè)，

，

時(shí)，，

，當(dāng)，

時(shí)，取得極小值，也是最小值，

即.