Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若對(duì)任意的恒成立，求整數(shù)的最小值；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2；（3）見(jiàn)證明

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）（x＞0），討論a≥0，和a＜0，由f′（x）的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；

（2）a≤0，不滿足f（x）≤0恒成立． a>0，由（1）求得函數(shù)的最大值，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在定理求其最值的范圍，求得的最小值

（3）由（2）可知f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，得到ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣x2+2x﹣1．

構(gòu)造u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），利用兩次求導(dǎo)證明ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．

（1）解：f（x）＝lnx-ax2+（-a+2）x+1，f′（x）2ax-a+2（x＞0），

①若a≤0，則f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

②若a>0，由f′（x）＞0，得0＜x；由f′（x）＜0，得x．

∴函數(shù)f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減；

（2）若a≤0，則f（1）＝-2a+3＞0，∴不滿足f（x）≤0恒成立．

若a>0，由（1）可知，函數(shù)f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減．

∴，又f（x）≤0恒成立，

∴0，

設(shè)g（x）＝lnx+x，則g（）≤0．

∵函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g（1）＝1＞0，g（）0，

∴存在唯一的x0∈（），使得g（x0）＝0．

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g（x）＞0．

∴0x0，解得a≥∈（1,2），

又a∈Z，∴a≥2．

則綜上a的最小值為2；

（3）由（2）可知，a＝2時(shí)，f（x）＝lnx﹣2x2+1＜0，

∴lnx＜2x2﹣1，則﹣xlnx＞﹣2x3+x，

∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞ex﹣2x3+x+2x3﹣x2+x﹣1＝ex﹣x2+2x﹣1．

記u（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），則u′（x）＝ex﹣2x+2．

記h（x）＝ex﹣2x+2，則h′（x）＝ex﹣2，

由h′（x）＝0，得x＝ln2．

當(dāng)x∈（0，ln2）時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（ln2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，

∴函數(shù)h（x）在（0，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，

．

∴h（x）＞0，即u′（x）＞0，故函數(shù)u（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

∴u（x）＞u（0）＝e0﹣1＝0，即ex﹣x2+2x﹣1＞0．

∴ex﹣xlnx+2x3﹣x2+x﹣1＞0．