Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線： 與橢圓相交于， 兩點(diǎn)（， 不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn).求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何意義，知，；（2）聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)D，所以,

試題解析：（ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由已知得：a+c=3，a-c=1，

∴a=2，c=1，

∴b2=a2-c2=3，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

（ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，

則，

又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2，

因?yàn)橐?/span>AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），

∴

整理為，得，，或，代入后，得到過(guò)，或是過(guò)