Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若的最大值為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）當(dāng)時,;當(dāng)時,.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式,先討論當(dāng)與兩種情況.當(dāng)時易判斷單調(diào)遞減,當(dāng)時,討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系,即可判斷單調(diào)性.

（2）根據(jù)（1）中所得在不同范圍內(nèi)的單調(diào)情況分類討論. 當(dāng),在遞減結(jié)合二次函數(shù)與絕對值函數(shù)的性質(zhì),并由的最大值即可求得的值,進(jìn)而得的取值范圍;當(dāng)時,在遞增,在遞減,同理解絕對值不等式可求得的取值范圍,進(jìn)而得的取值范圍.

（1）①當(dāng)時,,在單調(diào)遞減

②當(dāng)時,即時,在單調(diào)遞減

③當(dāng)時,即時,在遞增,在遞減

④當(dāng)時,不成立,所以無解.

綜上所述,當(dāng)時,在單調(diào)遞減；

當(dāng)時,在遞增,在遞減

（2）①當(dāng)時,在遞減,

,,

∵,

∴,

∴,

∴.

得.

②當(dāng)時,在遞增,在遞減,

又,,

∵,

∴,同時,

∴

∴

∴

又∵,

∴,

又∵,

∴

且可得在遞增,

所以.

綜上所述, 當(dāng)時,;當(dāng)時,.