Question

【題目】出租車幾何學(xué)是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)立的。在出租車幾何學(xué)中，點(diǎn)還是形如的有序?qū)崝?shù)對(duì)，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣，直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)定義它們之間的一種“距離”：，請(qǐng)解決以下問題：

（1）求線段上一點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”；

（2）定義：“圓”是所有到定點(diǎn)“距離”為定值的點(diǎn)組成的圖形，求“圓”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”均為的“圓”方程，并求該“圓”圍成的圖形的面積；

（3）若點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”和點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”相等，其中實(shí)數(shù)滿足，求所有滿足條件的點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)之和.

Answer 1

【答案】（1）1；（2） ；（3）.

【解析】

（1）直接利用“距離”的定義即可求得 “距離”；
（2）利用“圓”的概念，能夠求出“圓周”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”均為的“圓”的方程；

（3）由已知條件，得，分類討論去絕對(duì)值，得到點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而可求出軌跡的長(zhǎng)之和．

解：（1）上一點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”：
；
（2）∵“圓”是所有到定點(diǎn)“距離”為定值的點(diǎn)組成的圖形，
∴“圓周”上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的“距離”均為的“圓”方程為：
；
（3）由已知條件得
若，則，解得；

若，則，得；

若，則，解得；

點(diǎn)的軌跡由3段線段構(gòu)成:

,,,

則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)之和為．