Question

（2011•邢臺(tái)一模）已知有下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函數(shù)；
②若f（x）在R上恒有f（x+2）•f（x）=1，則4為f（x）的一個(gè)周期；
③函數(shù)y=2cosx²+sin2x的最小值為

2

+1；
④對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、x、y，都有ax+by≤

a2+b2

•

x2+y2

；
則以上命題正確的是

①②④

．

Answer 1

分析：①求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定命題的正確與否；
②以x+2代f（x+2）•f（x）=1中的x，得到f（x+4）=f（x），從而得到結(jié)論；
③先利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用公式 asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+θ）化簡(jiǎn)三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求出最小值．
④利用基本不等式得 b²x²+a²y²≥2abxy，把 b²x²+a²y²≥2abxy 的兩邊同時(shí)加上a²x²+b²y²，即可得到（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立，從而得出結(jié)論．

解答：解：①f′（x）=2^xln2-2x＞0（x＜0），∴函數(shù)f（x）=2^x-x²在（-∞，0）是增函數(shù)；故該命題正確；
②∵f（x+2）•f（x）=1，∴f（x+4）•f（x+2）=1，∴f（x+4）=f（x），故4為f（x）的一個(gè)周期；該命題正確；
③y=2cos²x+sin2x
=1+cos2x+sin2x
=1+

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）
=1+

2

sin（2x+

π

4

）
當(dāng) 2x+

π

4

=2k π-

π

2

，有最小值1-

2

．故該命題錯(cuò)；
④∵b²x²+a²y²≥2abxy，∴a²x²+b²y²+b²x²+a²y²≥a²x²+b²y²+2abxy，
即（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²成立，
∴ax+by≤

a2+b2

•

x2+y2

；故該命題錯(cuò)；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的周期性的定義，同時(shí)考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．