Question

【題目】已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)，甲，乙，丙，丁四位同學(xué)有下列結(jié)論：

甲：；

乙：函數(shù)在上是增函數(shù)；

丙：函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；

�。喝�，則關(guān)于的方程在上所有根之和為其中正確的是（ ）．

A. 甲，乙，丁 B. 乙，丙 C. 甲，乙，丙 D. 甲，丁

Answer 1

【答案】D

【解析】∵，是定義在上的奇函數(shù)，

∴，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

根據(jù)題意，畫(huà)出的簡(jiǎn)圖，如圖所示：

甲：，故甲同學(xué)結(jié)論正確；

乙：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故乙同學(xué)結(jié)論錯(cuò)誤；

丙：函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，故丙同學(xué)結(jié)論錯(cuò)誤；

�。喝�由圖可知，關(guān)于的方程在上有個(gè)根，

設(shè)為，，，，

則，，

∴，

所以丁同學(xué)結(jié)論正確．

∴甲、乙、丙、丁四位同學(xué)結(jié)論正確的是甲、丁，

故選．

點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,屬于中檔題目.根據(jù)已知函數(shù)為奇函數(shù)以及函數(shù)的周期,可得關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，結(jié)合時(shí)，畫(huà)出函數(shù)的圖象,進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)稱(chēng)性,特殊值以及y=m與y=f(x)的交點(diǎn)情況, 即關(guān)于的方程在上所有根之和.