Question

【題目】已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）判斷函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（2）若， ，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）對(duì)求導(dǎo)可得，根據(jù)的取值，分， ， 和四種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，然后得到極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（2）由題意可得對(duì)恒成立．然后分， 和三種情況分別求解，通過(guò)分離參數(shù)或參數(shù)討論的方法可得的取值范圍．

試題解析：

（1）∵，

∴，

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

有1個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

有2個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

有2個(gè)極值點(diǎn)；

綜上可得：當(dāng)時(shí)， 有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)， 有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 沒(méi)有極值點(diǎn)．

（2）由得.

①當(dāng)時(shí)，由不等式得，

即對(duì)在上恒成立.

設(shè)，則.

設(shè)，則.

， ，

在上單調(diào)遞增，

，即，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

.

②當(dāng)時(shí)，不等式恒成立， ；

③當(dāng)時(shí)，由不等式得.

設(shè)，則.

設(shè)，則，

在上單調(diào)遞減，

.

若，則，

在上單調(diào)遞增，

.

若， ，

，使得時(shí)， ，即在上單調(diào)遞減，

，舍去.

.

綜上可得， 的取值范圍是.