Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有成立，記（），

（１）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記（），設(shè)數(shù)列的前n和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有．

Answer 1

【答案】（1）（）

（２）對(duì)任意正整數(shù)n，都有，證明略

【解析】

試題（1）已知與的關(guān)系式，如本題，都是再寫一次（可用代），，兩式相減后得數(shù)列的遞推式，從而可得，數(shù)列是等比數(shù)列，因此通項(xiàng)公式可得；（2）由（1）求得，從要證明的不等式看，要求能計(jì)算出其和，但從通項(xiàng)的形式知其和求不出來(lái)，但是從問(wèn)題看，想象能否采用放縮法，即把放大一點(diǎn)，以便可求和，，此時(shí)要注意，不能用這種放縮法，可直接計(jì)算得，當(dāng)時(shí)，用此放縮法得，求和后可證得不等式成立．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，

又∵，，∴，即，

∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

∴．

（2）由得

又，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

∴對(duì)任意正整數(shù)都有．