Question

【題目】已知圓O：，直線l：．

若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值；

若，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)分別為C、D，試探究：直線CD是否過定點(diǎn)若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）過定點(diǎn)

【解析】

⑴運(yùn)用弦長(zhǎng)公式結(jié)合計(jì)算出圓心到直線的距離，即可求出斜率

⑵解法1：設(shè)切點(diǎn)，，求出兩條切線方程，計(jì)算出直線的方程，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo)；解法2：、、、四點(diǎn)共圓且在以為直徑的圓上，求出公共弦所在直線方程，然后再求定點(diǎn)坐標(biāo)

（1），設(shè)到的距離為，則

點(diǎn)到的距離.

（2）解法1：設(shè)切點(diǎn)，，則圓在點(diǎn)處的切線方程為

，所以，即.

同理，圓在點(diǎn)處的切線方程為，

又點(diǎn)是兩條切線的交點(diǎn)，，，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程，

上述方程表示一條直線，而過、兩點(diǎn)的直線是唯一的，

所以直線的方程為.

設(shè)，則直線的方程為，

即，由得，

故直線過定點(diǎn).

解法2：由題意可知：、、、四點(diǎn)共圓且在以為直徑的圓上，

設(shè)，則此圓的方程為：.

即：

又、在圓上，

兩圓方程相減得

即，由得，

故直線過定點(diǎn).