Question

【題目】知函數(shù)f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．

（1）判斷函數(shù) f （x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù) f （x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求證：f（x1）+f（x2）＜﹣3．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，分別令得增區(qū)間， 得減區(qū)間；（2）求出，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值即可證明.

試題解析：（1）由題意得，函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）=2ax﹣2+=，

令g（x）=2ax2﹣2x+1，△=4﹣8a，

①a≥時(shí)，△=4﹣8a≤0，f′（x）≥0恒成立，

則f（x）在（0，+∞）遞增；

②a＜時(shí)，△=4﹣8a＞0，

由g（x）=0，解得：x1=，x2=，

（i）0＜a＜時(shí)，0＜x1＜x2，

此時(shí)f（x）在區(qū)間（x1，x2）遞減，在（0，x1），（x2，+∞）遞增；

（ii）a＜0時(shí)，x2＜0＜x1，

此時(shí)f（x）在區(qū)間（x1，+∞）遞減，在（0，x1）遞增，

∴a≥時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增，

0＜a＜時(shí)，f（x）在區(qū)間（x1，x2）遞減，在（0，x1），（x2，+∞）遞增，

a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間（x1，+∞）遞減，在（0，x1）遞增；

（2）證明：由（1）得0＜a＜時(shí)，函數(shù)f（x）有2個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，

且x1+x2=，x1x2=，

∴f（x1）+f（x2）=﹣（lna+）﹣（1+ln2），

令h（a）=﹣（lna+）﹣（1+ln2），（0＜a＜），

則h′（a）=﹣（﹣）=＞0，

∴h（a）在（0，）遞增，

則h（a）＜h（）=﹣（ln+2）﹣（1+ln2）=﹣3，

即f（x1）+f（x2）＜﹣3．