Question

（2004•寧波模擬）（理）已知點(diǎn)M（x，y）是曲線C₁：3x³-4xy+24=0上的動(dòng)點(diǎn)，與M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P(

x

2

，

y

3

)的軌跡是曲線C₂．
（1）求曲線C₂的方程，并表示為y=f（x）的形式；
（2）判斷并證明函數(shù)y=f（x）在區(qū)間(

1

3 2

，+∞)上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（m，n）是曲線C₂上的任意一點(diǎn)，利用條件求出M的坐標(biāo)，利用已知的方程可求出關(guān)于m，n的方程，從而求出曲線C₂的方程；
（2）利用單調(diào)性的定義，取點(diǎn)，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論，從而可判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：（1）設(shè)P（m，n）是曲線C₂上的任意一點(diǎn)，則
∵P(

x

2

，

y

3

)
∴m=

x

2

，n=

y

3

∴x=2m，y=3n
∴M（2m，3n）在曲線C₁上…（3分）
∴3（2m）³-4（2m）（3n）+24=0，則曲線C₂的方程為m³-mn+1=0
即x³-xy+1=0
所以y=f(x)=x2+

1

x

…（6分）
（2）解：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間(

1

3 2

，+∞)上是增函數(shù)
證明：任取x1，x2∈(

1

3 2

，+∞)，x1＜x2
則f(x1)-f(x2)=(

x

2 1

+

1

x1

)-(

x

2 2

+

1

x2

)=(x1-x2)(x1+x2-

1

x1x2

)…（9分）
∵

1

3 2

＜x1＜x2，
∴x1+x2＞

2

3 2

=

3	4

，x1x2＞(

1

3 2

)2=

1

3 4

＞0
∴

1

x1x2

＜

3	4

，
∴(x1+x2-

1

x1x2

)＞0，
又x₁-x₂＜0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2-

1

x1x2

)＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間(

1

3 2

，+∞)上是增函數(shù)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以曲線方程為載體，考查代入法求軌跡方程，考查函數(shù)的單調(diào)性，證明時(shí)，利用取點(diǎn)，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論是關(guān)鍵．