【題目】已知函數
.
（1）設
是
的極值點，求
，并求的單調區(qū)間；
（2）當
時，證明
.
【答案】（1）
，
的單調遞減區(qū)間為
，增區(qū)間為
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）求出導函數，由
求得
，再確定
的正負，從而確定
的單調區(qū)間；
（2）由
得
，
，構造新函數
，
，只要證明
即可，利用導數求出
的最小值即可．只是要注意
的唯一解
不可直接得出，只能通過
的零點來研究的最小值
，只要說明
即可．
（1）
，
由
是的極值點知，
，即
，所以.
于是
，定義域為
，且
，
函數在上單調遞增，且，
因此當
時，
；當
時，
，
所以的單調遞減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）當，
時，
，從而
，則
，
令，，則
在
單調遞增，
且
，
，
故存在唯一的實數
，使得
.
當
時，
，遞減；當
時，
，遞增．
從而當
時，
取最小值.
由得
，則
，
，
故
，
由知，
，故
，
即當時，
成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】焦點在x軸上的橢圓C：
經過點
，橢圓C的離心率為
．
，
是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點M為
的中點（O為坐標原點），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數
，使得
；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，多面體是由底面為
的直四棱柱被截面
所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中
，
，
，
．
(1)求
的長；
(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，圓
，如圖，
分別交
軸正半軸于點
.射線
分別交于點
，動點
滿足直線
與
軸垂直，直線
與軸垂直.
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）過點
作直線
交曲線與點
，射線
與點
，且交曲線于點
.問：
的值是否是定值？如果是定值，請求出該定值；如果不是定值，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以直角坐標系
的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，并且在兩種坐標系中取相同的長度單位.若將曲線
（
為參數）上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>
（縱坐標不變），然后將所得圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到曲線C.直線l的極坐標方程為
.
（1）求曲線C的普通方程；
（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，與x軸交于點P，線段AB的中點為M，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某農場更新技術培育了一批新型的“盆栽果樹”，這種“盆栽果樹”將一改陸地栽植果樹只在秋季結果的特性，能夠一年四季都有花、四季都結果.現為了了解果樹的結果情況，從該批果樹中隨機抽取了容量為120的樣本，測量這些果樹的高度（單位：厘米），經統計將所有數據分組后得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求
；
（2）已知所抽取的樣本來自
兩個實驗基地，規(guī)定高度不低于40厘米的果樹為“優(yōu)品盆栽”，
（i）請將圖中列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為“優(yōu)品盆栽”與兩個實驗基地有關？
優(yōu)品 | 非優(yōu)品 | 合計 | |
| 60 | ||
| 20 | ||
合計 |
（ii）用樣本數據來估計這批果樹的生長情況，若從該農場培育的這批“盆栽果樹”中隨機抽取4棵，求其中“優(yōu)品盆栽”的棵樹
的分布列和數學期望.
附：
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.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
+
=1（a＞b＞0）的離心率為
，直線l：x+2y=4與橢圓有且只有一個交點T．
（I）求橢圓C的方程和點T的坐標；
（Ⅱ）O為坐標原點，與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點A，B，直線l′與直線l交于點P，試判斷
是否為定值，若是請求出定值，若不是請說明理由．
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